Subversion Repositories wimsdev

Rev

Rev 16457 | Show entire file | Ignore whitespace | Details | Blame | Last modification | View Log | RSS feed

Rev 16457 Rev 16458
Line 49... Line 49...
49 
text red,3.5,1.9,giant,y =
 49 
text red,3.5,1.9,giant,y =
50 
text red,4.3,1.9,giant,x
 50 
text red,4.3,1.9,giant,x
51 
text red,0.2,0.9,giant,g
 51 
text red,0.2,0.9,giant,g
52 
}
 52 
}
53 
Considérons une fonction \(f) définie sur l'ensemble de définition \(D_f) et dont l'ensemble des images est \(I_f).<br>
 53 
Considérons une fonction \(f) définie sur l'ensemble de définition \(D_f) et dont l'ensemble des images est \(I_f).<br>
54 
Le mot "fonction" impose que chaque élément de \(D_f) ait une image et une seule.<br>
 54 
Le mot <strong>fonction</strong> impose que chaque élément de \(D_f) ait une image et une seule.<br>
55 
Si <b>chaque élément de \(I_f) est l'image par \(f) <u>d'un seul</u> élément de \(D_f)</b>,
 55 
Si <b>chaque élément de \(I_f) est l'image par \(f) <u>d'un seul</u> élément de \(D_f)</b>,
56 
autrement dit s'il a <u>un seul</u> antécédent par \(f) dans \(D_f), <br>
 56 
autrement dit s'il a <u>un seul</u> antécédent par \(f) dans \(D_f), <br>
57 
alors on peut définir une fonction \(g) de \(I_f) dans \(D_f) qui à chaque élément de \(I_f) <b>associe son antécédent</b> par \(f).<br>
 57 
alors on peut définir une fonction \(g) de \(I_f) dans \(D_f) qui à chaque élément de \(I_f) <b>associe son antécédent</b> par \(f).<br>
58 
On dit alors que \(g) est la <b>fonction réciproque</b> de \(f).<p>
 58 
On dit alors que \(g) est la <b>fonction réciproque</b> de \(f).<p>
59 
Schématiquement :
 59 
Schématiquement :
Line 71... Line 71...
71 
  \right |
 71 
  \right |
72 
  \begin{matrix}&\\&g(f(x)) = x\\&f(g(y)) = y\\&\end{matrix}
 72 
  \begin{matrix}&\\&g(f(x)) = x\\&f(g(y)) = y\\&\end{matrix}
73 
\)
 73 
\)
74 
</div>
 74 
</div>
75 
<p>
 75 
<p>
76 
En passant de \(f) à \(g), on a en quelque sorte inversé les variables de départ et d'arrivée.<br>
 76 
En passant de \(f) à \(g), on a en quelque sorte inversé les variables de départ et d'arrivée.
77 
En conséquence, le graphique de \(g) est obtenu à partir de celui de \(f) en inversant les axes.<br>
 77 
En conséquence, le graphique de \(g) est obtenu à partir de celui de \(f) en inversant les axes.
78 
Et si le repère est orthonormé, la courbe de \(g) est obtenue par symétrie orthogonale de celle de \(f)
 78 
Et si le repère est orthonormé, la courbe de \(g) est obtenue par symétrie orthogonale de celle de \(f)
79 
par rapport à la droite d'équation \(y=x).
 79 
par rapport à la droite d'équation \(y=x).
80 
</p><p>
 80 
</p><p>
81 
C'est ainsi que l'on peut définir et tracer la courbe de la fonction racine carrée à partir de celle de la fonction carré
 81 
C'est ainsi que l'on peut définir et tracer la courbe de la fonction racine carrée à partir de celle de la fonction carré
82 
définie sur &#91;0 ; \(+\infty) &#91, et plus généralement celle de la fonction racine \(n)<sup>ième</sup> à partir de
 82 
définie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\), et plus généralement celle de la fonction racine \(n)<sup>ième</sup> à partir de
83 
la fonction puissance \(n) définie sur &#91;0 ; \(+\infty) &#91.
 83 
la fonction puissance \(n) définie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\).
84 
</p>
 84 
</p>
85 
<ul class="inline wims_nopuce">
 85 
<ul class="inline wims_nopuce">
86 
<li>\draw{200,200}{\Gr1}</li><li>
 86 
<li>\draw{200,200}{\Gr1}</li><li>
87 
<img alt="Courbes des fonctions puissances 2, 3 et 12 et de leurs fonctions réciproques" src="\filedir/racnx_xn.png"/>
 87 
<img alt="Courbes des fonctions puissances 2, 3 et 12 et de leurs fonctions réciproques" src="\filedir/racnx_xn.png"/>
88 
</li></ul>
 88 
</li></ul>
89 
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
 89 
<h3 class="l2w_content thm">Théorème</h3><div class="l2w_content thm">
90 
<p>
 90 
<p>
91 
Si une fonction \(f) est définie, continue et strictement croissante sur un intervalle I et si l'ensemble des images
 91 
Si une fonction \(f) est définie, continue et strictement croissante sur un intervalle I et si l'ensemble des images
92 
est un intervalle J, alors \(f) admet une fonction réciproque \(g) de J dans I qui est strictement croissante sur J.
 92 
est un intervalle J, alors \(f) admet une fonction réciproque \(g) de J dans I qui est strictement croissante sur J.
93 
</p></div>
 93 
</p></div>
94 
<p>L'expression "strictement croissante" peut être remplacée par "strictement décroissante".<br>
 94 
<p>L'expression <strong>strictement croissante</strong> peut être remplacée par <strong>strictement décroissante</strong>.<br>
95 
Une fonction est croissante si les images sont dans le même ordre que les antécédents
 95 
Une fonction est croissante si les images sont dans le même ordre que les antécédents
96 
donc sa réciproque est alors aussi croissante.
 96 
donc sa réciproque est alors aussi croissante.
97 
Elle est décroissante si les images sont dans l'ordre inverse des antécédents, dans ce cas sa réciproque est aussi décroissante.
 97 
Elle est décroissante si les images sont dans l'ordre inverse des antécédents, dans ce cas sa réciproque est aussi décroissante.
98 
L'adverbe "strictement" signifie que deux nombres distincts de l'ensemble de définition I n'ont pas la même image,
 98 
L'adverbe <strong>strictement</strong> signifie que deux nombres distincts de l'ensemble de définition I n'ont pas la même image,
99 
ce qui garantie que la fonction admet une fonction réciproque.
 99 
ce qui garantit que la fonction admet une fonction réciproque.
100 
</p><p>
 100 
</p><p>
101 
Le mot "continue" signifie précisément que l'image de tout intervalle inclus dans I
 101 
Le mot <strong>continue</strong> signifie précisément que l'image de tout intervalle inclus dans I
102 
est un intervalle, autrement dit, il n'y a pas de "trous" dans l'ensemble des images.
 102 
est un intervalle, autrement dit, il n'y a pas de "trous" dans l'ensemble des images.
103 
Toutes les fonctions linéaires, affines, trinômes et plus généralement les polynômes sont des fonctions continues
 103 
Toutes les fonctions linéaires, affines, trinômes et plus généralement les polynômes sont des fonctions continues
104 
sur chaque intervalle de \(\RR). Il en est de même de chaque fonction racine
 104 
sur chaque intervalle de \(\,\RR). Il en est de même de chaque fonction racine
105 
\(n)<sup>ième</sup>.</p>
 105 
\(n)<sup>ième</sup>.</p>
106 
La fonction inverse est définie, continue et strictement décroissante sur &#93;0 ; \(+\infty) &#91 et l'ensemble des images est
 106 
La fonction inverse est définie, continue et strictement décroissante sur
- 
 
 107 
\(\rbrack 0;+\infty\lbrack\) et l'ensemble des images est
107 
&#93;0 ; \(+\infty) &#91, elle admet donc une fonction réciproque définie de &#93;0 ; \(+\infty) &#91 dans &#93;0 ; \(+\infty) &#91 ;
 108 
\(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\), elle admet donc une fonction réciproque définie de
- 
 
 109 
\(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\)
- 
 
 110 
dans \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) ;
108 
c'est la fonction inverse elle-même ! Or pour \(x \ne 0), \(\frac{1}{x} = x^{- 1}) ; on voit que l'on peut enrichir l'ensemble des
 111 
c'est la fonction inverse elle-même ! Or pour \(x \ne 0), \(\frac{1}{x} = x^{-1}) ;
- 
 
 112 
on voit que l'on peut enrichir l'ensemble des
109 
puissances rationnelles avec des exposants négatifs à condition de réduire l'ensemble de définition à &#93;0 ; \(+\infty) &#91.</p>
 113 
puissances rationnelles avec des exposants négatifs à condition de réduire l'ensemble de définition
- 
 
 114 
à \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\).</p>
110 
Remarquons aussi que la fonction réciproque de \(x \mapsto x^{3/2}) est \(y \mapsto y^{2/3}) car \((x^{3/2})^{2/3} = x) et de
 115 
Remarquons aussi que la fonction réciproque de \(x \mapsto x^{3/2}) est \(y \mapsto y^{2/3})
- 
 
 116 
car \((x^{3/2})^{2/3} = x) et de façon plus générale, pour deux entiers \(n) et \(d) non nuls,
111 
façon plus générale, pour deux entiers \(n) et \(d) non nuls, la fonction réciproque de  \(x \mapsto x^{n/d}) est \(y \mapsto y^{d/n}).
 117 
la fonction réciproque de  \(x \mapsto x^{n/d}) est \(y \mapsto y^{d/n}).