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!set titb=Exemples de démonstration de l'extremum dans un trinôme avec la forme canonique.
!set keyw=
!set datm=20210503
!set prev=
!set next=
!set upbl=main
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content

!set tmp0=!randint 2, 5

!set m_a=$[rint($(tmp0))]

!set tmp0=!randint 6, 10

!set m_xS=$[rint($(tmp0))]

!set tmp0=!randint 11, 20

!set m_yS=$[rint($(tmp0))]

<p class="decal">
L'expression d'un trinôme est sous la forme canonique si elle est écrite 
!insmath a(x-x_S)^2+y_S
 où 
!insmath a \ne 0
.<br>
Nous allons démontrer que si 
!insmath a \gt 0
, 
!insmath y_S
 est le minimum du trinôme sur 
!insmath \,\RR
 et que<br>
si 
!insmath a \lt 0
, 
!insmath y_S
 est le maximum du trinôme sur 
!insmath \,\RR
.<br>
Nous effectuons cette démonstration sur des exemples, puis dans le cas général.</p>
<table cellpadding=10 border=1><tr><td>
Démontrons que $m_yS est le maximum de 
!insmath -\a*(x-\xS)^2+\yS
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td>
<td>
Démontrons que $m_yS est le minimum de 
!insmath \a*(x-\xS)^2+\yS
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td>
</tr></tr>
<td>
 
!insmath (x-\xS)^2
 est un carré donc est positif ou nul<br>
donc 
!insmath \a*(x-\xS)^2
 est aussi positif ou nul.<br>
Dans 
!insmath -\a*(x-\xS)^2+\yS
, on retranche un nombre positif ou nul à $m_yS<br>
Le résultat est donc inférieur ou égal à $m_yS.<br>
Par ailleurs, si 
!insmath x=\xS
 alors 
!insmath -\a*(x-\xS)^2+\yS=\yS
.<br>
Cela achève de démontrer que &#58;<br>
$m_yS est le maximum de 
!insmath -\a*(x-\xS)^2+\yS
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td><td>
 
!insmath (x-\xS)^2
 est un carré donc est positif ou nul<br>
donc 
!insmath \a*(x-\xS)^2
 est aussi positif ou nul.<br>
Dans 
!insmath \a*(x-\xS)^2+\yS
, on ajoute un nombre positif ou nul à $m_yS<br>
Le résultat est donc supérieur ou égal à $m_yS.<br>
Par ailleurs, si 
!insmath x=\xS
 alors 
!insmath \a*(x-\xS)^2+\yS=\yS
.<br>
Cela achève de démontrer que &#58;<br>
$m_yS est le minimum de 
!insmath \a*(x-\xS)^2+\yS
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td>
<tr><td>
Démontrons que<br>
Si 
!insmath a \lt 0
 alors 
!insmath y_S
 est le maximum de 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td><td>
Démontrons que<br>
Si 
!insmath a \gt 0
 alors 
!insmath y_S
 est le minimum de 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td>
</tr></tr>
<td>
On suppose ici que 
!insmath a \lt 0
<br>
 
!insmath (x-x_S)^2
 est un carré donc est positif ou nul,
donc 
!insmath a*(x-x_S)^2
 est négatif ou nul.
Dans 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
, on ajoute un nombre négatif ou nul à 
!insmath y_S
.
Le résultat est donc inférieur ou égal à 
!insmath y_S
.<br>
Par ailleurs, si 
!insmath x=x_S
 alors 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S=y_S
.<br>
Cela achève de démontrer que &#58;<br>

!insmath y_S
 est le maximum de 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td><td>
On suppose ici que 
!insmath a \gt 0
<br>
 
!insmath (x-x_S)^2
 est un carré donc est positif ou nul<br>
donc 
!insmath a*(x-x_S)^2
 est aussi positif ou nul.<br>
Dans 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
, on ajoute un nombre positif ou nul à 
!insmath y_S
.
Le résultat est donc supérieur ou égal à 
!insmath y_S
.
Par ailleurs, si 
!insmath x=x_S
 alors 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S=y_S
.
Cela achève de démontrer que &#58;<br>

!insmath y_S
 est le minimum de 
!insmath a*(x-x_S)^2+y_S
 sur 
!insmath \,\RR
.
</td>
</table>
<p class="decal">
Les démonstrations ci-dessus montrent que le point de coordonnées (x_S ; y_S)
est le sommet de la parabole d'équation 
!insmath y=a*(x-x_S)^2+y_S
.</p>