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!set titb=Puissances rationnelles
!set keyw=
!set datm=20210910
!set prev=embedExpQN
!set next=embedExpQR
!set upbl=main
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
  !goto $wims_read_parm
!endif
!exit

:content
Soit 
!insmath n
 un entier strictement positif alors la fonction qui à tout réel positif ou nul 
!insmath x
 associe 
!insmath x^n
 est
définie, continue et strictement croissante sur [0 ; 
!insmath +\infty 
&#91 et l'ensemble des images
est 
!insmath \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
.
<h3 class="l2w_content thm">Conséquences</h3><div class="l2w_content thm">
Si 
!insmath a \ge 0
 et si 
!insmath n \in \NN^*
, l'équation 
!insmath x^n = a
 admet une solution
  et une seule dans 
!insmath \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
 qui est appelée
  la racine 
!insmath n
<sup>ième</sup> de 
!insmath a
.<br>
Si 
!insmath a
 et 
!insmath b
 sont des réels positifs, si 
!insmath n \in \NN^*
 et si 
!insmath a^n=b^n
 alors 
!insmath b=a
.
</div>
<h3 class="l2w_content defn">Définition</h3><div class="l2w_content defn">
Si 
!insmath a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
 et 
!insmath n \in \NN^*
,
 on note 
!insmath \root{n}{a}
 l'unique solution réelle positive ou nulle de l'équation 
!insmath x^n=a
.
</div>
<p>Ceci permet de calculer le taux annuel moyen ou le taux mensuel moyen.</p>
Si 
!insmath a \gt 0
 alors 
!insmath (\root{4}{a^3})^100 = (a^3)^25 = a^75 = (\root{100}{a^75})^100
,
donc 
!insmath \root{4}{a^3} = \root{100}{a^75}
 ;
or 
!insmath \frac{3}{4} = \frac{75}{100}
, d'où l'idée d'écrire

!insmath \root{4}{a^3} = a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{75}{100}}= \root{100}{a^75}

et plus généralement de noter la racine de 
!insmath a
 par 
!insmath a^{\frac{1}{n}}
.
<h3 class="l2w_content defn">Définition</h3><div class="l2w_content defn">
Si 
!insmath a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack
 et 
!insmath n \in \NN^*
,
on note 
!insmath a^{1/n}
 l'unique solution réelle positive ou nulle de l'équation 
!insmath x^n=a
.
</div>
Ainsi 
!insmath \root{n}{a} = a^{1/n}
 mais 
!insmath 0^0
 n'est pas défini.
On démontre en exercice la cohérence de cette notation et que les règles
sur les puissances entières s'appliquent aussi
 aux puissances rationnelles de nombres réels strictement positifs.
On définit ainsi 
!insmath a^{p/n} = \root{n}{a^p}
 et 
!insmath a^{-p/n} = \frac{1}{\root{n}{a^p}}

pour 
!insmath a \gt
 0.