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!set gl_author=Euler, Académie de Versailles
!set gl_keywords=graph,prob_graph,matrix
!set gl_title=Graphe probabiliste
!set gl_level=H6 Générale Experte
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<div class="wims_defn">
    <h4>Définitions</h4>
  <ul>
    <li>
      Un <strong>graphe probabiliste</strong> est un graphe orienté pondéré dans
      lequel la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à 1.
    </li><li>
      La <strong>matrice de transition</strong> associée à un graphe probabiliste
      d'ordre \(n\) est la matrice carrée \(M =(a_{i,j})\) d'ordre \(n\) telle
      que, pour tous entiers \(i\) et \(j\) vérifiant \(1\leqslant i\leqslant n\)
      et <span class="nowrap">\(1\leqslant j\leqslant n\),</span>
      \(a_{i,j}\) est égal au poids de l'arête orientée d'origine le sommet \(i\)
      et d'extrémité le sommet \(j\) si cette arête existe, et est égal à \(0\)
      sinon.
      <br>
      Cette matrice décrit le passage d'un état au suivant.
    </li><li>
      Un <strong>état probabiliste</strong> est une loi de probabilité sur
      l'ensemble des états possibles.
      <br>
      Cette loi est représentée par une matrice ligne.
    </li>
  </ul>
</div>
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<div class="wims_thm">
    <h4>Théorème</h4>
  Soit \(M\) la matrice de transition d'un graphe probabiliste, \(P_0\) la
  matrice ligne décrivant l'état initial et \(P_n\) l'état probabiliste à l'étape
  \(n\), où <span class="nowrap">\(\n \in \NN\).</span>
  <br>
  Pour tout <span class="nowrap">\(n\in \NN\),</span> <span class="nowrap">\(P_n=P_0 \times M^n\).</span>
</div>
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<div class="wims_thm">
  <h4>Théorème</h4>
  Pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition \(M\) ne
  comporte pas de <span class="nowrap">\(0\),</span> l'état \(P_n\)
  converge vers un état \(P\) indépendant de l'état initial \(P_0\) et \(P\) est
  l'unique solution de l'équation \(X=X \times M\) où
  <span class="nowrap">\(X=\left(x \;\; y\right)\),</span>
  <span class="nowrap">\(x\in [ 0\,;1]\),</span>
  <span class="nowrap"> \(y\in [ 0\,;1]\),</span> et
  <span class="nowrap">\(x + y = 1\).</span>

</div>